2017年中南大学资源与安全工程学院934工程力学之理论力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知图1所示两个自由度系统，其中A 和B 的质量分别为为1. 求系统的运动微分方程和固有频率
.
和
弹簧的刚度系数为k , 摆长
图1
【答案】
图2
系统具有两个自由度，取弹簧的变形x 和摆杆与铅垂线夹角为广义坐标. 广义力为:
动能:
由速度叠加原理:
上式中
，则代入（1）再代入拉格朗日方程
得到:
微幅振动下近似
上式化简为:
即
解得:
2． 弹簧的刚度系数为c ，上端固定，下端悬挂着质量各为m 和（a ））, 物块所在光滑斜面与水平面夹角为放，当
的两个物块M 和
（见图1
. 弹簧与斜面平行，弹簧无变形时，将系统由静止释
运动到最低位置时突然与M 脱离，试求此后物块M 的运动规律
.
图1
【答案】（1）求未脱离M 且处于最低位置时，M 距静平衡位置当弹簧下端悬挂着两个物块M 和图1（a ））:
②当
与M 脱离后，仅有M 处于静止状态时，由平衡方程，可求得弹簧此时的静伸长减小
点的距离
并处于静止状态时，由平衡方程可求得弹簧的静伸长（见
为（见图1（b ））:
③求以和弹性力
未脱离M 时的静平衡位置为原点，坐标轴平行于斜面向下（见图1（c ））. 视M 和
，
在任意位置
作用力有重力
其中
由牛顿第二定律可以写出运动微分方程为
为一质点系，运动的初始条件为t=0时，
以及反力#，
即
或者
其中固有频率
上式是无阻尼自由振动微分方程的标准形式. 其振幅
此即
与M 未脱离且处于最低位置时，M 到
点的距离.
（2）求仅有物块M 时的运动规律
图2
以仅有M 时的静平衡位置O 为原点，坐标轴x 平行于斜面向下（见图2）. 物块M 的运动初始条件应为:
而
在任意位置X ，物块M 受重力弹性力F 和反力W 作用，其中分方程
可写为
即
或
其中，固有频率
上式也是无阻尼自由振动微分方程的标准形式，它的通解为
物块M 的运动微