2017年华中师范大学数学与统计学学院717数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设正项级数
【答案】因为收敛，进而由比较原则得 2． 设
【答案】令
求证：
显然有
收敛.
于是
3． 设
【答案】已知
且满足
. 即
证明
:
有下界又由
可推出若
则
即
单调递减. 由单调有界定理，在不等式
存在，记为
可知
矛盾.
由此可见
的极限存在，并求出其极限值.
收敛，证明级数
也收敛. 义由已知碍
及
收敛，所以
两边，
令
再在不等式
中，令可得
4． (1) 证明若
(2)
若取
则当
(2) 不一定成立. 例如，取
则
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即
存在，则存在，试问是否成立
，则对任给的时，
有
解之得
存在于是
，
使得当
【答案】(1) 设时，
，
即
故
这时
存在，但不存在.
二、解答题
5． 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数：
【答案】(1) (i
)
及其周期延拓的图像如图1所示，
图 1
显然f (x ) 在因为
所以在区间
内，
(ii ) 函数f (x ) 及其周期延拓的图像如图2所示，
图 2
显然f (x ) 在因为
所以在
内，
内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数， 内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
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(2) (i )
函数
及其周期延拓的图像如图3所示，
图 3
显见. 因为
所以在
内，
(ii ) 函数f (x ) 及其周期延拓的图像如图4所示，
在
内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
图 4
显见f (x ) 在因为
所以在
内，
(3) 函数f (x ) 及其延拓后的函数是按段光滑的，由收敛定理可知f (x ) 可在叶级数，
因为
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内按段光滑，由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数，
内展成傅里
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