2017年江苏大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在[a，b]上可导. 证明：存在
【答案】令
续，在(a , b ) 内可导，
且有得
.
即
上任一点的法线到原点距离等于a.
所对应的点为
则
法线斜率为
所以过点
的法线方程为
化简得
3．
设
【答案】因为又因为对上述任给的
从而对任给的从而对上述只需取
存在
存在使当
时，就有
使当
时，有
2时，有
且
在
附近
有
证
明
原点(0, 0) 到法线的距离
使得
由f (x ) 在
上可导可知，F (x ) 在
上连使
故由罗尔中值定理知，
存在
2． 证明曲线
【答案】设
故 4． 设
，
且
求证
：
【答案】改写
5． 叙述(1) 有限覆盖定理和(2) 魏尔斯特拉斯
【答案】(1) 有限覆盖定理：若个开区间来覆盖[a，b].
(2)
定理(致密性定理) ：有界数列必存在收敛子列.
若
中任意一子列的极限. 由此可知，存在
中无收敛子列，则对任意
的在
中至多只含
中存在有限个开区间
根据限项，这与
的构造性质可知，中，
中也只含有
中的有限项，从而[a, b]中也只含有
中的有
不是
有
显然
反证法. 设数
列
中的有限项. 于是得一满足上述条件的开区间族
为[a，b]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，
定理(致密性定理) ，并用(1) 证明(2) .
中必存在有限
为闭区间[a，b]的一个(无限) 开覆盖，则在
矛盾，所以结论得证.
二、解答题
6． 证明下列级数的收敛性，并求其和：
(1) (2) (3) (4) (5)
【答案】(1)
所以原级数收敛，且和数
(2)
)
所以原级数收敛，且和数(3)
所以原级数收敛，且和数
(4)
所以原级数收敛，且和数
(5) 考察
两式相减得
故原级数的前n 项和
所以原级数收敛且和数
7． 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：