2017年江南大学理学院711数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：
(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.
(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以无理数矛盾. 故ax 是无理数.
2． 设为上严格增的连续曲线(图) . 试证存在
是有理数. 这与x 是
时，ax 是无理数.
也是有理数. 这与x 是无理数矛
【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么
使图中两阴影部分面积相等。
图
【答案】作辅助函数
则
在
上连续可导. 由
为严格增函数可得
由根的存存定理. 存
内存在一点
使得
即
上式两端恰为两部分面积，故证得结论。
3． 设函数
在
上严格单调増加，求证：函数
也在【答案】
上严格单调増加.
且设
于是
同理可证
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因为
在上严格单调増加，所以
在上严格单调增加.
4． 证明下列结论：
(1)
设(2)
设
在(3) 设f (x )
在f (x )
在
故(2) 易知
在点x=0连续，且
对上连续；
在
上连续； 在点上连续.
取
得又
在点
连续，从而
因为
在于是对
令同理由
在
(3)
由即
对
定号，从而可知
得
对
两边取对数得
得
即
令
得因为
都成立.
由已知得上连续.
在
处连续，
在
有
即在所以于是
且上连续.
对
与
同号，
从而
处连续，由(1) 的结论知
上连续. 上单调，
所以
都存在，设
.
对
当
时，由
处连续，所以
连续，
且对
满足
则
上单调，
且对
满足
则
满
足
则
在
【答案】(1) 由
利用(1) 的结论知
在上连续，从而在
5． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且
证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.
【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记
由已知条件知
所以
故D 内任一点都不可能是极值点，因此f (x ，y ) 的最大值与最小值只能在D 的边界上取到.
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二、解答题
6． 设
【答案】
因为
所以
记
对固定的n ，在
上应用第一积分中值定理，有
其中
通过计算可得
故
7． 设函
数
【答案】方法一
方法二当
时，有
故
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在内满
足且
，计
算