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一、证明题

1． 设

(2

)

【答案】(1) 一方面，

则

另一方

面

或

(2

)

即

(3) —方面，由(2) 有另一方面

，因为是一一映射，所以

综合两方面，有

2． 证明下面的方程在点(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) ，将f (x , y ) 在点(0, 0) 展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.

【答案】令

则F (x , y , z ) 在点(0，0，0) 的邻域内连续，

在点(0, 0, 0) 的邻域内连续，且由隐函数求导法则易知

所以

于是

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是X 的任意子集，证明：(1) (3) 若f 是一一映射，则

则

所以

则

从而

则

故

则

使 且

即即

使这表明

使

使

因

为这表明因

为

. 所

以

且

所

以

或总

若使

则即

使

使

若

这表明或

即

综合两方面，

有

则

且

使又

并

于是由隐函数存在定理，方程F (x ，y , z ) =0在点

(0, 0, 0) 附近惟一确定了隐函数z=f(x , y ) , 满足f (0, 0) =0.

3． 证明：若函数在点

处有

【答案】

假设

使得

当

时

有

可知，存在

取

则当

使得当时，由

则为的极大(小) 值点。

及极限的保号性知，

存在

于是此时

有

时有

由

于是此时有

故为的极大值点。同理可证，

当

时，为f 的极小值点。

4． 设函数f 在(a, b) 内可导，且单调. 证明在(a，b ) 上连续.

【答案】设内递增且以定理知，

因为f (x )

在

5． 证明：函数

有无穷多个极大值，但无极小值. 【答案】

令

解方程组可得无穷多个驻点

此时

故f (x ，y ) 在驻点当n 为奇数时，驻点为f (x , y ) 在

处取得极大值，极大值为

此时

处无极值. 综上知，f (x , y ) 有无穷多个极大值，但无极小值.

当n 为偶数时，驻点为

可导，所以

.

于是

由

的任意性知

在(a，b ) 内递増.

设

则

在某个

内递增且以

为上界，

在

为下界. 根据单调有界定理知，极限

都存在. 再由导数极限

在(a, b) 内连续

二、解答题

6． 试比较函数

【答案】由

与

分别当a=2和可知，

与

时的图像.

’图像关于y 轴对称. 由

可知，

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与的图像关于x 轴对称.

由于

与

与互为反函数，因而它们的图像

关于直线y=x对称. 同理，的图像也关于直线y=x对称，如图所示

.

图

7． 作极坐标变换，将二重积分

化为定积分，其中【答案】如图所示：

图

令

则

8． 试问

是初等函数吗？

可由

复合而成，所以

是初等函数.

【答案】因为

9． 回答下列问题：

(1) 对极限(2)

对(3) 对|

【答案】(1) 因为

能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？ 能否运用积分顺序交换来求解？

能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

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