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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

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则为（ ）.

则（ ）.

3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若

均为n 维列向量，A 是

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩

则

线性无关，

否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

有

由上述知线性相关，所以于是

因此线性相关，故选A.

4． 设

与

为空间的两组基, 且

又

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

由②有

将①代入④得

即故.

二、填空题

5． 设矩阵

则A 3

的秩为_____ 【答案】

【解析】由

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① ②

③

④

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可知秩为

6． 设A 是4X3矩阵，且A 的秩

【答案】2 【解析】 7． 设

间的维数为2, 则a=_____.

【答案】6

8． 设矩阵

是可逆阵，

而

则

_______

若由生成的向量空

且秩【答案】-3. 【解析】但

时秩

则 k=_____.

则从而k

，所以

或

三、分析计算题

9． 设么

【答案】设

r 个线性无关的向量，因维

，可取, 故它是

的一组基的基. 因此

10．设是欧氏空间V 的线性变换,

试证下面命题等价:

（1）为正交变换；

（2）保持向量长度不变, 即对（3）若【答案】

为标准正交基底, 则设

则

第 4 页，

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都是线性空间V 的子空间，且，证明:如果

的维数和. 因

的维数相等, 那这也是

中

也是标准正交基底.