2018年扬州大学数学科学学院822高等代数(理)考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 若B 是正定阵
，
（1）（2）
且
①
又因AB 半正定，故（2）因为
由（1）知
2． 设二次型
（1）求二次塑 （2）若二次型
的矩阵的所有特征值； 的规范形为
的矩阵
求
的值.
再由②知
的行个特征值都不小于1. 所以
也半正定，特征值非负.
此即
是半正定阵，证明
的所有根
【答案】 （1）已知B 正定，所以存在可逆阵T ，使
【答案】 （1）二次型
由于
所以A 的特征值为
（2）解法1由于故有当当当
时，时|时，
的规范形为
于是
或此时此时此时
所以A 合同于
或的规范形为的规范形为
的规范形为
不合题意.
不合题意.
其秩为2,
综上可知，解法2由于所以
的规范形为
所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又
3． 设V 是数域P 上全体n 阶方阵构成的线性空间, A 是V 中的一个取定的矩阵, 定义V 的线性变换为
证明:（1）（2）设
【答案】 （1）若（2
）由
取基础解系
令
则不可逆.
判断显然
能否对角化. 不可逆. 若
则^
于是
不是单射, 故不可逆. 对于特征值
解方程组
取基础解系
是V 的基, 则
（1）
也是V 的基. 因为
则A
的特征值为
对于特征值
由矩阵单位
解方程组
这里
4． 问3是否为
【答案】解法1对
所以
有4个线性无关的特征向量, 故可以对角化.
的根？是几重根？再在有理数域上分解
及其商用综合除法
.
由此可知，3是解法2求
的2重根且
的逐阶导数法
.
用综合除法可知：
故3是的2重根.
5． 计算以下阶行列式
【答案】解法1各列都加到第一列，再按第一列展开，得
解法2将第一列加到第二列，再将第二列加到第三列，主对角线上元素为
的一个下三角形行列式. 因此
6． 设P 是数域，
证明：存在可逆阵P , Q, 使
【答案】因为秩
所以
且和
秩
最后将第n 列加到第
列，即得
有相同的r 阶顺序主子式.
可逆阵P 、Q ，使
又因为所以有
所以
令
这里
均为r 阶方阵，
都是
阶方阵，将它们代入式（1）得
即
所以
式（3）代入式（2）得，
证完.
7． 设A ，B 均为n 阶方阵，求证
【答案】 （1）当
时，这时
由公式
可得