2018年烟台大学数学与信息科学学院830高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设S 是酉空间V 的一个非空集合，记
证明:
是子空间，且
，并举例说明, 对任一
有
所以
即由又可见因此
的任意性知是V 的子空间. ，由题设知
不一定成立，如在酉空间
不是V 的子空间，但
2． 计算n 阶行列式
是V 的子空间，所以
中, 取
, S
,
不一定成立. , 所以
【答案】对给定的集合S , 显然V 的零元素属于
【答案】解法1:按第一行展开得，
对应特征方程：
解之得两根令
时，时，
则
（1）
（2）
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由式（1）、式（2）得解法2:按第一行展开可得
，所以
,
因此
同样由
可得
又
，故
解之得
3． 设V 为n 维欧几里得空间为V 的正交变换, 令
显然
是V 的予空间, 证明:
【答案】由
只要证明
因为
所以故因为
所以即综上所述
于是
, 故
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4． a , b为何值时下列方程组无解、有唯一解和有无穷多解？并求其解:
【答案】对增广矩阵施行初等行变换：
从最后矩阵知，
当
时
，
时，
有唯一解
5． 求所有满足条件
【答案】在已知等式中，令由因式定理，所以
（2）
将式（1）、式（2）代入已知等式，由消去律得
即有无穷多个X ，使所以
6． 已知
问【答案】
为怎样的有理数, 都不能使量组. 所以
从而设
为直和
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或.
且
时.. 原方程组均无解；
当为任意数.
当
原方程组有无穷多解
，
的多项式.
得设
（1）
有因式
由此有
均取同一值a ，
为常数.
满足题设要求.
. 故
不难验证，对任一常数a , 如上
与是直和当且仅当取何值?
是直和
为常数. 即
而无论A
都是线性无关的向
无关.
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