2018年信阳师范学院数学与信息科学学院815高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
2． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
则A=（ ）.
若选故选B.
3． 设
, ，从而否定C ,
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
1
所以
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4． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】其中则PAQ=B
5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
则分块矩阵
二、分析计算题
6． 若矩阵
（1）求a 的值.
（2）讨论A 能否对角化.
的特征方程有2重根.
（3）若A 可以对角化, 试求矩阵P 使【答案】 （1）A 的特征多项式
为对角矩阵.
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若2是2重根, 则2是若2不是其重根, 则（2）当角化.
（3）当础解系令
时, A 的特征值为
对于
则
P 是可逆矩阵
, 使得
与
矩阵. 则
【答案】
（2重）
,
解方程组
对于
解方程组
取基础解系
取基
于代数重数, 故不能对角化. 若
的根, 故
是完全平方式, 故
时, 2是A 的2重根, 其几何重数为
即4的几何重数不等
故A 能对
时, 4是A 的2重根, 但其几何重数为
7．
设A ，B 分别为
但
8． 用向量运算证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
图
【答案】设P 是
两条边AB 及AC 的两条垂直平分线的交点.F 是BC 的中点. 即要证明
PF 垂直于BC 如图所示，己知
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