2018年云南民族大学数学与计算机科学学院812高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
线性无关.
所以向量组线性无关.
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
3
．
设
其中A 可逆，则=（ ）. A. B. C.
D. 【答案】C 【解析】因为 4． 设
则由基A.
1
是3维向量空间
到基
所以的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
B.
C.
D. 【答案】A
5． 设
A. 若B. 若C. 若
D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
二、分析计算题
6． 设K , F, E都是数域, 满足E 是有限维的.
【答案】设
是K 上线性空间E 的基. 事实上
,
由
是线性空间
的基, 可设
由
是线性空间
的基
, 可设
于是
故（1）是设
由线性无关.
综上所述, （1）是线性空间
7． 计算：
的基,
是线性空间
的基,
则
又
是
的基, 故
于是（1）
的生成元.
它们的基分别是
下面证明
（
1）
则在通常的运算下,
F 和E 都是K 上的线性空间. 假定作
为K 上的线性空间F 是有限维的, 作为F 上的线性空间E 是有限维的, 求证作为K 上的线性空间