2018年云南师范大学民族教育信息化教育部重点实验室601自命题数学(理)之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的. 矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
. 则
也不是线性变换，比如给
,
【答案】C 【解析】而
2． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到 3． 设
是.
的一个特解，所以选C.
则3条直线
①
（其中A. B.
线性相关 线性无关
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的通解为（ ）.
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
（否则与
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
）交于一点的充要条件是（ ）
C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
4． 设
则由基A.
. ，可知
线性无关 则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
是3维向量空间
到基
B.
C.
D.
【答案】A
5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令
则
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
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这时方法2所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，即
时，二次型可化为
所以f 为正定的
.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
即f 不是正定的.
从而否定A
, B
，C.
则
时，f 为正定二次型.
则当
二、分析计算题
6． 举例说明断语“如果a 是
则
因此a 是
7． 设A 是n 阶方阵，则秩
当且仅当存在n 阶非零方阵曰，使得
所以
结合如果秩
得，秩不妨令秩
则存在可逆矩阵P 、Q 使
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的m 重根，那么a 是的
重根”是不对的.
【答案】可以用反例来说明这一结论. 设
的优重根，但是a 不是的根
.
【答案】由于存在非零方阵B ，使