2018年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
其中
则PAQ=B
则A 与B （ ）.
D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 4． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设
所以有
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使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
与分别为A , B 的伴随矩阵，
又
所以有
即题设
因此
即
右乘初等阵
所以
得
解法2
二、分析计算题
6． 已知
的线性变换丁在基.
求T 在基【答案】设由基
到基
下的矩阵及T 的值域与核.
的过渡阵为X , 即
即
下的矩阵为
所以T 在
下的矩阵
先求T 的值域:
又
对B 作初等变换, 有
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