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一、证明题

1． 证明

【答案】将

作偶延拓到

上, 再在

故

即

2．

设

为[a, b]上的连续函数列, 且对任意

有

. 证明:如果

, 对任意正整数k

,

这里不妨设不妨设该收敛子列为由于再由

由于数列, 且设

, 故存在正整数N , 使得

, f （x ）在点X 0连续, 且

, 所以

由保号性, 存在正整数K , 当k>K时有所以当n>N时

3． 设f 在

【答案】由即f （x

）在

, 矛盾. 从而

上连续, 且

, 证明

, 当x>X时, 有

上连续知, f （x ）在

. , 由

f x ）, 关于n 单调递增趋于（

在[a, b]上一致收敛于f （x ）.

从而

上有界. 综合上面

有界, 故必有收敛子列,

.

收及

外作周期延拓, 于是

敛于连续函数f （x ）, 则

【答案】假设

, 使得

在[a, b]上必一致收敛于f （x ）.

在[a, b]上不一致收敛于f （x ）, 则

知, 对于数1, 存在内有界, 又由f （x ）在

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可得.f （X ）在

上有界. 设,

将分拆成两项

其中第一项当时必趋于零. 事实上

, 使

, 从而

对第二项使用第一中值定理, 存在由于

时,

, 所以

故证得

4． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明:对充分小的h , 存在,

【答案】设f 在不妨设

, 令

, 使得

再令

故有从而

令

, 则有

, 且

, 则H （x ）在, 其中

上满足拉格朗日中值定理的条件,

于是

内具有二阶导数.

, 则F （x ）与G （x

）在

上满足柯使得

西中值定理的条件

,

故存在

二、解答题

5． 试讨论方程组

在点（1, ﹣1, 2）的附近能否确定形如x=f（x ）, y=g（z ）的隐函数组？ 【答案】令

则

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①F , G 在点（1, ﹣1, 2）的某邻域内连续； ②F （1, ﹣1, 2）=0, G （1, ﹣1, 2）=0;

③④

隐函数组.

6． 判别下列函数的奇偶性:

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）显然,

的定义域为R. 对于任意

有

故

是R 上的偶函数.

有

故

是R 上的奇函数.

有

故f （x ）是R 上的偶函数.

（4）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

有

故f （x ）是R 上的奇函数. 7． 应用

【答案】设

求

（3）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

均在点（1, ﹣1, 2）的邻域内连续；

故由隐函数组定理知, 在点（1, ﹣1, 2）的附近所给方程组能确定形如x=f（z ）, y=g（z ）的

（2）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意

在任何[c, d] （c ＞o ）内一致收敛

.