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一、计算题

1． 求指数, 使得曲线积分

【答案】设

,

, 则

由

得

. 这时

, 所以积分与路径无关, 由于

I.

及

所以

2． 设

极大值还是极小值?

【答案】

,

由

得方程组

故

V

3． 设

, 记

其中

是关于x 的多项式, 求

和

.

【答案】由莱布尼茨公式, 有

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’与路线无关, 并求k.

在, . 处都取得极值, 试求a 与b ; 并问这时f 在x 1与x 2是取得

, 解得

, 于是f 在取得极小值, 在取得极大值.

由此可知,

和

所以

4．

求锥面

被柱面

所截部分的曲面面积

.

, 且

设曲面面积为S , 则

5． 求不定积分

【答案】方法一:

因此

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【答案】

由于曲面在xy 平面上的投影区域为

方法二:

由此推出

二、证明题

6

． 设f （X ）在I

上可微, 且对x>l满足

证明

:【答案】记

.

, 则

因此若在一个点列

存在广义极限, 记为L.

, 对g （x ）在

. , 则

, 使得

另一方面, 由令

7． 证明:若

（1）（2）

【答案】（1）

（2）由（1）的运算可得

第 4 页，共

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上应用拉格朗日中值定理, 存在

. 这表明在

使得

上存

,

这显然与刚才的结论矛盾,

所以, S 为包围区域V 的曲面的外侧, 则

可得