当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明:若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割, 则T’, 所以我们只需证p=l的情形.

在T 上添加一个新分点, 它必落在T 的某一小区间内, 而且将分为两个小区间, 记作

但T

的其他小区间

仍旧是新分割

所属的小区间, 因此, 比较一项换为后者中的

故

»

即

就有

这里

,

故

_

2． 证明:函数f （x ）在区间上一致连续的充要条件是:

, 只要

【答案】只要

,

. 对上述,

从而, 尽管

相应地存在但 3． 证明

, 其中

*

【答案】令x=au, y=bv, z=cw, 则

所以

第 2 页，共 30 页

【答案】设T 增加p 个分点得到T’, 将p 个新分点同时添加到T , 和逐个添加到T , 都同样得到

与的各

与

个被加项,

它们之间的差别仅仅是前者中的

两项. 又因函数

在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅, 即有

一般的, 对增加一个分点得到

, 就有.

因为f （x ）在上一致连续, 所以

, 就有

, 当nN 时, 有

, 由

可知

, 此即为

. 取

显然,

,

用反证法. 函数f （X ）在上不一致连续可表述为:

但

满足

矛盾.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

4． 设f （x

）在

【答案】令由于

上可微, 且

, 则

,

因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即

证明:在

上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

二、解答题

5．

如图所示,

直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积.

图

【答案】椭圆柱面的方程为的性质有

, 解得

.. 于是

故所求体积

6． 计算第二型曲线积分:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）因

其中L 为螺线其中L 为圆周其中L 为

, 依逆时针方向;

与z

轴所围的闭曲线,

依顺时针方向;

从而

（2）由圆的参数方程.

, 则

第 3 页，共 30 页

. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形

沿t 增加方向的一段;

其中L 为从（1, 1

, 1） N （2, 3, 4）的直线段.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

（3）

（4）直线的参数方程是:x=1+t, y=1+2t, z=1+3t （

）,

7． 设f （x , y ）在开半平面x>0上二元连续, 固定y , 极限充定

义子:函数为

令y=x则

所以f （x , y ）在

8． 设

极大值还是极小值?

【答案】

,

由

得方程组

故

V

, 于是f 在

取得极小值, 在

取得极大值.

9． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:

（1）

所围平面区域上侧在曲线的左侧;

（2）（3）

为顶点的三角形沿ABCA 的方向.

【答案】（1）记L 为曲面S : z=1—x —y （

第 4 页，共 30 页

2

存在, 在y 轴上函数补上二元连续. 考虑例

后, 问函数f （x , y ）是否

在

.

【答案】不一定. 如函数f （x , y ）恒为常数, 显然结论是对的. 但对所给的函数, 补充定义后的

上不是二元连续函数. 在

, .

处都取得极值, 试求a 与b ; 并问这时f 在x 1与x 2是取得

, 解得

其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线, 它的走向使

>其中L 为

. , x=y所交的椭圆的正向;

, 其中L 是以A （a , 0, 0）, B （0, a , 0）, C （0, 0, a ）

）的边界, 由斯托克斯公式知