2018年北京市培养单位数学与系统科学研究院616数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 、g 均为定义在[a, b]上的有界函数. 证明:若仅在[a, b]中有限个点处
在[a, b]上可积时, g 在[a, b]上也可积, 且
【答案】设f （x ）与g （x ）在[a, b]上的值仅在k 个点
处不同, 记
, 使当
, 则当f
f x ）, 由于（在[a, b]上可积. 存在
时, 有
, 则当
时, 有
当
时,
, 所以上式
中至多仅有k 项不为0, 故
这就证明g （X ）在[a, b]可积, 且
2． 设曲线
证明
.
的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.
【答案】由对称性知
3． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.
【答案】对任意的
，因为
收敛，所以
从而
由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，
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在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致
存在使得当从而
4． 证明有界函数.
使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时
，
由于
是R 上的有界函数.
于是,
，
收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.
【答案】由平均值不等式可得故是R 上的
二、解答题
5． （1）
（2）
【答案】（1）先取对数, 再用罗比达法则。因为
f
所以
（2）由罗比达法则, 得
.
6． 设a 0, a 1, a 2•••为等差数列
（1）幂级数（2）数项级数【答案】（1）因（2）考虑幂级数设
, 因
则
, 试求:
的收敛半径； 的和数.
所以收敛半径R=l.
故该幂级数收敛半径为R=2, 且收敛域为（﹣2, 2）.
从而
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令x=1, 可得
所以
7． （1）计算积分
（2
）设z=f （x ,
y）在闭正方形
,
证明存在
, 使得
;
上连续, 且满足下列条件
:
.
, 这里A 是（1）中的积分值.
【答案】（
1）如图所示:
图
（2）证明:由所以
由积分中值定理知,
存在
, 使
故
8． 计算:（1）数e 准确到
【答案】（1）由
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,
知,
,
；（2）准确到