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一、证明题

1． 试把闭域套定理推广为闭集套定理, 并证明之.

【答案】推广为:设（1）（2）

则存在惟一的一个点现证如下: 任取点列可知:必存在

使得

任意取定n , 对任何自然数p 有

由于

为闭集, 且

所以P 0作为F n 的内点或为其聚点, 必定属于F n , 即

下证P 0的惟一性: 若还有得到

2． 设

【答案】

作分割

理,

, 使得

其中介于f （x' ）与f （x" ）之间. 因为可积函数一定有界, 所以可设式得

设与

分别表示f （x ）与

在

上的振幅, 在公式（2）中, 让x' , x" 在

由此推出

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为R 中的闭集列, 且满足

由于

因此

从而有

2

则

,

故, 求证:

设

, 则根据微分中值定

. 于是由（1）

上

变化, 两边取上确界得到

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令限得

因此

3．

设f

为

【答案】设中值定理,

存在

, 使得

4． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

上连续可知

,

在

上也连续

. 由连续函数的最大、

, 存在

. 使得

【答案】由f （x ）在

上的单调递减函数, 证明:对任何正整数n 恒有

, 贝岫题设知, g （x ）在

上为非负、递减函数. 由积分第二

, 因为

, 所以

. 由此, 令

对（3）式取极

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

5． 已知

在

[a,

b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在

都是可微的,

, 使得, 2. 证明:

【答案】因为

故原式成立.

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6． 证明级数

【答案】由微分中值定理, 有

收敛, 并且其和小于1.

从而

又

所以级数

收敛

, 并且其和小于1.

二、解答题

7． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使

（1

）

【答案】（1） f （x ）在

（2）上连续, 又因为

所以f （x ）在

x=0右连续. 故f （

x

）在

内连续.

故f

（x

）在

（2）所以

时,

在x=0不可导. 则

所以

; 当

在

时,

内可导,

且

, 根据罗尔中值定理

, 存在一点

上不满足罗尔中值定理的条件. 当

,

所以

故

, 使

函数f （x ）在区间[―1, 1]内不存在

,

使

8． 设

f （

x ,

y ）在区域上对x

连续, 对y 满足利普希茨条件:

其中

【答案】任取

时, 有

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为常数, 试证明f 在G 上处处连续.

对固定的

在X 0连续, 于是对任给

存在

当