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一、证明题

1． 设f （x

）在

【答案】令由于

2． 设函数

上可微, 且

, 则

, 因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即

和

在

内可积, 证明:对

内任意分割

有

【答案】由积分的定义知

且

由于

可积, 所以

所以

所以原命题成立.

3． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

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证明:在上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

【答案】, 因为所以

. 即

若

f

x ）=0

, 等式成立; 若则（即

故

4． 设E 为平面上一个有界闭集, 连续函数f 将E 一对一映为平面上的点集F , 证明:（1）F 也是有界闭集; （2） f 的逆映射也是连续函数.

【答案】（1）由E 为有界闭集, f 为连续函数, 显然F 是有界的. 下证F 为闭集. 设

为F 中的任意一个无限点集, 对于每个

即存在

的子列

存在一个使

则

从而为聚点, 即F 中的点均是聚点

, 从而F 为有界闭集. （2）由f 是一一映射, 知由令上述由

5．

求平面曲线段等长.

【答案】令所以, 曲线上任一点化简即

此切线与x , y 轴的交点分别为

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, 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式,

的

它必有聚点满足

存在. 并且对当

时,

时,

存在使得 从而

在

连续.

在连续, 即当

的任意性,

知是F 上的连续函数.

上任一点处的切线方程,

并证明这些切线被坐标轴所截取的线则

处的切线方程为:

又因

所以, 任一点处的切线被坐标轴截取的线段等长（均为a ）.

6． 证明:若函数f 在点x 0处有

【答案】假设存在由

于是此时有

. 取

使得当

, .

时有可知, 存在

, 则当

,

. , 由

, 于是此时有, 使得当

时,

时有,

时, x 0为f 的极小值点.

,

, 则x 0为f 的极大（小）值点.

及极限的保号性知,

;

,

故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当

二、解答题

7． 计算下列第一型曲面积分:

（1）（2）（3）（4）

, 其中S 为上半球面其中S 为立体, 其中S 为柱面

;

的边界曲面;

被平面z=0, z=H所截取的部分;

. 其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.

【答案】（1）因

从而

（2）面积S 由两部分S 1, S 2组成, 其中S 1:影区域都是

, 由极坐标变换可得

（3）（4）

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, S 2

:, 它们在:xOy 面上的投