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一、证明题

1． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

的递减性, 有

即

从而有

依次相加得

由左边不等式, 得

由右边不等式, 得

综合两式有

（2）由（1）有

而

, 于是由迫敛性定理有

2． 设

【答案】

, 则

. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.

, 由极限的四则运算法则知

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所以f （x , y ）在点在D 中取两个点列

连续, 从而f （x , y）在D 上连续.

, 则

但

所以f （x ,

y ）在D 上不一致连续.

3

．

证明:若

【答案】（1）若因

为

（2）当且仅当证明如下:由于是

如果

时, 由知, 对任意数列

可推出存在N , 当满足

此时, 命题变为:

时,

但数列

即是发散的.

当且仅当

a 为何值时反之也成立?

则对任意

存在N , 使得n>N时,

当

时, 也有

于是

所以对于任意

二、解答题

4． 确定下列幂级数的收敛域, 并求其和函数:

（1）（2）（3）（4）

【答案】

（1）设

则

, 收敛半径R=﹣l. 当x=1时级数

发散, x=-l时级数

也发散, 所以收敛域为（﹣1, 1）. 设

, 则

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故

（2）设

当

则

时, 原级数可化为级数

故收敛半径

其中

又

故

（3）设

原级数可化为

因级数

的收敛域为（﹣1, 1）, 所以

发散, 故原级数的收敛域为

原级数的收敛域为（0, 2）, 所以

（4）设

则

故1, 1].

设

时级数收敛,

又

时由莱布尼茨判别法可知级数收敛, 故原级数收敛域为[﹣

故

又

所以

从而

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