2018年贵州民族大学理学院601数学分析A考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
（1）
存在且等于A ;
则
存在
内时
从而
即
与也在点x 0连续. 又问:若
或在Ⅰ上连续, 那么f 在Ⅰ上是否
存
在
, 使得
当
2． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？
【答案】因为f （x ）在点x 0连续, 所以对任给
的时,
（1）由不等式故（2）由（3）当
. 即
知, 由在点x 0连续.
在点x 0连续.
, 则
与
为
时,
, 而|f|在x 0连续, 故
当
存在. 令
得
① 当
时,
时, 有
（2） y 在b 的某邻域内, 存在有【答案】由条件（1）知:对任绐
又由条件（2）知:当y 在b 的某邻域在①式中, 令
或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如,
常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.
3． 证明下列结论:
f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）
在【答案】（1）假设从而有
（a ）为极限, 从而数列
当
时有
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）有
, 对任意正整数k ,
,
（正常数）, 即数列
的子列
知
,
, 则, 则, 使得
. 不以f
上有定义, g （x ）单调, 且
, 则
已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有
也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是
.
由
（2）不妨设g （x ）单调递增. 对
再证:当即
4． 设
【答案】设时,
有
取由此推出, 当 5． 证明
【答案】取虽然满足
时有（反证法）若结论不成立, 即存在
, 矛盾. 从而当
且
证明:存在正数N , 使得当
所以当
由于对
于时, 同时有故当
上不一致连续.
时, 有
时有时, 有对于存在正整
数
, 使得, 于是
, 即
,
, 由g （x ）单调递增, 则有
, 因为又由
于时
存在正整数化
, 使得
当
使得当时,
有
在
但是
因此,
6． 证明:若
在区间I 上一致收敛于0, 则存在子列
使得
在, 上一致收敛.
使得
在I 上一致收敛.
都连续, 这
里一致收敛,
且
【答案】
因为
7． 证明:定义在
上的函数项级数
满足定理条件, 且
在[a, b]上一致收敛, 并且每一
项收敛（0 判别法知级数 【答案】定理的条件要 求 由于在 • 而正项级数连续, 且由定理有: 第 3 页，共 26 页 在上不一致连续. 在I 上一致收敛于0, 所以对任意的自然数i , 总存在自然数 而级数 收敛, 由魏尔斯特拉斯判别法, 得级数 二、解答题 8． 研究函数 的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数. 【答案】当 时被积函数是连续的, 因此F （y ）为连续函数. 当y=0时有F （0） =0.设m 为 而 所以F （y ）在点y=0不连续. 9． arctan . f （x ）在[0, 1]上的最小值, 则m>0.于是当y>0时, 【答案】原式 10．试作适当变换, 把下列二重积分为单重积分: , 其中D 为圆域: （2）（3）（4） , 其中, 其中, 其中 , . , 【答案】（1）经过极坐标变换后 （2）积分区域D 如图1所示, 由它的对称性及被积函数关于x 和关于y 都是偶函数, 知积分值等于4倍的第一象限部分D 1上的积分值, 其中 , 应用极坐标变换, 有 所以 第 4 页，共 26 页