当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设数列

证明:（1）若（2）若

满足:

有界, 则

也有界;

有界知, 存在M0, 使得

, 由递推关系式可知,

收敛, 则

也收敛.

【答案】（1）由己知条件

由此可知, （2）设

有界. ,

则

当nN 1时, 有

即

对上

述

第 2 页，共 29 页

. 于是有

. 当nN 时, 可

使, 从而, 当nN 时,

有

故

2． 设

,

其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在.

【答案】因为在正方形的任何部分内, 函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数, 则函数f （x , y ）恒为零. 若y 为有理数, 则函数仅有有限个异于0的值,

因此

所以累次积分存在且

同理, 累次积分

3． 证明定理: 数列

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

即

于是, 数列（2）因为

4． 设f 是定义在R 上的函数, 且对任何证明对任何

【答案】由即则

, 这与题设

, 于是或者

, 都有

.

得

或者

. 若. 对任意

有

5． 设f （x ）是

使得

【答案】记（1）若存

在

, 使得

当

分三种情况讨论.

时, 恒

有

,

即

. 取

.. 上的有界连续函数, 证明:对任意T0, 存在数列

满足

,

矛盾. 所以

,

收敛于0, 即

为无穷小数列. 是无穷小数列, 所以

, 都有

若

,

为无穷小数列. ,

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列

收敛于a , 那么, 对任

意

第 3 页，共 29 页

则

这表明为上L.

由

（2）若存在（3）若存在于是, 有

6． 设f , g 在点x 0连续, 证明:

（1）若（2）若在某【答案】（1）令

, 则存在内有

, 使在其内有, 则, 则

, ,

, 在

内

和极限

, 使得当

满足:

, 使得

时, 恒有

, 可得

. 这种情形可仿照（1）证明.

. 使得

, 而且

. .

, 而且

是单调递增数列. 注意到f （x ）的有界性, 利用单调有界定理,

存在, 记

由连续函数根的存在定理知, 存在

由f , g在点x 0连续可知, F （x ）在x 0也连续. 根据连续函数的局部保号性, 对任何正数存在某于是, 当保不等式性可得

, 使得对一切时,

有.

（2）因为f , g 在点x 0连续, 所以

二、计算题

7． 求下列各函数的函数值:

（1）（2）

（3）

【答案】 （1）

求

,

求,

求

（2）

第 4 页，共 29 页