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一、证明题

1． 应用柯西收敛准则, 证明以下数列

（1）（2）

【答案】（1）设

则有

因为

（2）设

于是对任意正数

（不妨设则当则有

对任给的

取

则对一切

有

由柯西收敛准则知, 数列

时,

）, 必存在N ,

使当

时,

有

收敛.

即取

收敛:

由柯西收敛准则可知, 数列

收敛. 2． 在曲线y=x3上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q , 证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

【答案】设曲线切线方程为交点为

因此,

3． 设f （X ）在

. 曲线上点P 坐标为

,

即

由由方程组

在Q 点的切线斜率

得该曲线过点P 的切线斜率

,

,

解出切线与曲线的

, 即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

上n+1阶导数且. 由微分中值定理

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及

求证:

..

【答案】

将f

（a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

将上式代入式（1）可得

比较式（2）、式（3）, 且有

, 则

9

故

4． 设u （x , y ）, v （X ,

y ）是具有二阶连续偏导数的函数, 证明:

（1） （2） 其

中

D

为

光

滑

曲

线

L

所

围

的

平

面

区

域

,

是u （x , y ）, v （x , y ）沿曲线L 的外法线n

的方向导数.

【答案】在格林公式中, 以

P 代替Q , ﹣Q 代替P 得

其中n 是L 的外法线方向. （1）在（a ）中令

’

则得

即

（2）在（a ）中, 令

则得

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,

而

即

（c ）式减（b ）式得

5． 证明:若函数

上一致连续. 【答案】首先, 由存在正数于是, 对

, 得

当

总有

时, 有

其次, 由

在

上连续, 知存在

对

时, 与

于是,

总有

6

． 证明:若三角级数

中的系数

满足关系

M 为常数, 则上述三角级数收敛, 且其和函数具有连续的导函数. 【答案】设

上连续, 由

可知

且级数

收敛, 故级数

在

上一致收敛, 记

故

的每一项均在

即

在

事件至少一个发生. 上一致连续.

,

在

上连续且一致连续.

时,

知对

在

上连续, 且

其中

b 为非零常数, 则

在

于是, 对上述的有综上

, 取当

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