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一、计算题

1． 设曲面S 由方程

【答案】在球坐标变换

:

, 其参数方程为

通过计算易知,

由此得

由曲面的对称性, 只需求第一卦限部分的面积即可.

而此时

, 所以

故S 的面积为

,

并且由曲面方程知

所确定, 求曲面S 的面积.

之下, 曲面S 的方程

是

2． 设

求:（1）（2）（3）【答案】

同理（1）将（2）（3）由于

代入可得

, 所以

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.

3． 设

⑴求（2）计算

;

.

为奇点. 记

则

显然当x →1时当对积分

,

由判别法可知,

在

,

及

的收敛性, 利用M

时,

在与

均在

. 上收敛.

上连续. 对积分

,

【答案】（1） x=1和

由此可知,

上关于一致收敛. 于是, 由可微性定理, 有

（2）因为此时,

注意到g （0） =0, 于是当

, 所以 时, 有

是关于的奇函数, 因此只需考虑的情形即可.

故

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4

．

计算下述积分

:

【答案】记

则

其中

D

是矩形区域

5． 设f （t ）在区间（a , b ）内连续可导, 函数

定义在区域【答案】因为

格朗日定理知:存在

又由于当

第 4 页，共

32

页

上, 证明:对任何

在（a , b ）内连续可导, 所以当

（或可见对任意的时

且

）使得

, 有

且.

时,

在[x, y]或

[y,

x]上, 应用拉

总存在介于x 与y 之间, 使得

在c 处连续, 从而