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一、解答题

1． 试证函数系cosnx （n=0, 1, 2, …）和sinnx （n=l, 2, …）都是合起来的不是

上的正交函数系.

【答案】对于函数系cosnx ; （n=0, 1, 2, …）, 因为

上的正交函数系, 但它们

又n=0时, cosnx=l

,

时,

所以, 在三角系cosnx （n=0, 1, 2, …）中, 任何两个不相同的函数的乘积在等于零, 而任何一个函数的平方在

上的正交函数系.

对于sinnx （n=l, 2, …）, 因为m ≠n 知时,

所以函数系sinnx （n=l, 2, …）也是

上的正交函数系.

所以该函数系不是

上的积分都

上的积分均不为零, 所以函数系cosnx （n=0, 1, 2,

…）为

对于函数系1, cosx , sinx , cos2x , sin2x , …, cosnx , sinnx , …, 因为

上的正交函数式.

2． 设

其中A , a , b为常数, 试问A , a, b为何值时, 处可导? 为什么? 并求

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【答案】

故要使

又

要使有导数存在, 必须

b=0. 综上可知, 当

为任意常数时,

在

处可导, 且

存在, 必须

3． 在曲面z=xy上求一点, 使这点的切平面平行于平面x+3y+z + 9 = 0, 并写出这切平面方程和法线方程.

【答案】设所求点为

点P 处切平面法向量为

要求切平面与平面x +3y+ z+9=0平行, 故且点P 处的切平面方程为法线方程为

4． 设f 在[a, b]

上可积, 且

【答案】

任给当

, 由于在. 且

上一致连续, 因此对上述, 存在时, 有

（*）

由于f （x ）在

[a, b]上可积, 对上述正数和由可积第三充要条件知, 存在某一分割T ,

使得在T 所属的小区间中,

注意

而这些小区间的长至多为

5． 设函数u=u（x , y ）由方程组u=f（x , y , z , t

）, g （y , z , t ）=0, h （z , t ）=0所确定, 求

【答案】方程组分别关于x , y 求偏导数, 有

和

的所有小区间

上, 于是

的总长, 即

:而在其余小区间. 由式（*）知另一方面, 至多在

. 故由可积的第三充要条件知

上

, 在[a, b]上可积.

上

由以上可知, 在T 的小区间

从而

即x+ 3y +z +3=0.

即

3 （x+3） =y+l=3 （z —3）.

,

试问

在

[a, b]上是否可积？为什么？

得P 点为（-3, - 1, 3）

在[a,

b]上是可积的. 事实上, 由于f （

x ）在[a, b]上可积. 从而有界, 设

由和

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分别解得

6． 求积分值方向.

【答案】

域的面积.

7． 应用函数的单调性证明下列不等式:

（1）（2）（3）

【答案】（1）令所以f （x ）在（2）先证明再证为了确定此,

又因为g （x ）在（3）令

则

所以当x>0时,

, 其中L 为包围有界区域的封闭曲线, n 为L 的外法线

, 其中为封闭曲线L 所围区

;

. 则

内严格递增.

时, 则

, 即,

, 则内严格递减.

时,

, 故当

时

.

因

则

的符号, 令于是, g （x ）在连续, 所以当

. 故

于是在

内, f （x ）严

.

, 令令

又因f （x ）在x=0连续, 所以当格递增. 又因为f （x ）在x=0连续, 所以

因此h （x ）

在内严格递减. 又因h （x ）在x=0连续,

故