当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明定理得

【答案】 （1）先证定理 （连续性）若函数项级数都连续, 则其和函数在[a, b]上也连续.

设则

因为有

且

又由使得当

从而上连续.

（1

）下面证定理（逐项求导）若函数项级数数

,

为

的收敛点, 且

在[a, b]上每一项都有连续的导函

在[a, b]上一致收敛, 则

不妨设级数性可知,

在[a, b]

上一致收敛于

由

对

第 2 页，共 27 页

在区间[a, b]上一致收敛, 且每一项

为[a, b]上的任意一点, 为级数的部分和函数列,

, 故对任意在[a, b]上一致收敛于S （x ）存在N , 使得当n>N时, 对一切

连续可得

,

且

时, 有

在[a, b]上连续, 故对上述的

. 存在

,

所以的和函数S （x ）在处连续. 由的任意性, S （x ）在[a, b]

连续及的一致收敛

在[a, b]上连续. 又由定理得, 对任意

两边求导, 得, 即

2． 设, , 定义函数

证明:函数f （x , y ）在D 上可积, 且

【答案】因为f （x , y）在D 上的不连续点都分布在线段y=x （件知f （x , y ）在D 上可积. 对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域别为和为

于是

3． 给定两正数与

证明:【答案】由又因为因此

,

于是

所以

为单调递减,

即

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

发散的充要条件, 并用它证明下列数列{u}是发散的:

（3）

. 对任意的正整数N , 取

发散.

对任意的正整数N , 取

则有

并且

第 3 页，共 27 页

）上, 由可积的充分条

, 它们的面积分

, 其积分

,

在

上任取一点. ,

则

与等比中项

因而

一般的令

即都是有界的. 根据两边取极限,

得

单调有界定理

知的极限都存在.

设

4． 按柯西收敛准则叙述数列

（1）

【答案】数

列

使得

（1）取故数列（2）取

（2）

对任意的正整数N , 都存在正整

数则有

并且

发散的充要条件是:存

在

故数列（3）取故数列

5． 设f 在

【答案】令因此, g

为

发散.

对任意的正整数N , 取发散.

上可微, 且

则

上的递减函数. 于是

,

证明:在

因为.

上

, 所以

,

故

则有

, 由此

. 得在上

6． 设函数f 在（a , b ）上连续, 且

【答案】在（a , b ）内任取一点使得

同理, 存在

时有

. 因为

. 证明f 在（a , b）内能取到最小值.

, 取

, 则存在

,

①

, 使得当

时, 有

②

由f 在（a , b ）上连续可知, f 在区间由闭区间连续函数的最值定理知, f 在对一切

都有

③

由式①, ②, ③知, f 在

内能取得最小值.

上连续,

上有最小值点, 即存在

,

二、解答题

7． 设

（1）求f 的傅里叶级数展开式; （2）讨论f 的傅里叶级数在【答案】（1）由于f 在

上是否收敛于f , 是否一致收敛于f? 上为奇函数, 故

所以f 的傅里叶级数展开式为

（2）因为f 在

上除x=0外都连续, 故当

第 4 页，共 27 页

, 且时, 有