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一、证明题

1． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且

, 有

*

证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将

在X 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得

当

时, 有

由三阶导数的连续性, 有

2． 证明:设f 为幂级数在（﹣R , R ）上的和函数, 若f 为奇函数, 则级数仅出现奇次幂的项, 若f 为偶函数, 则仅出现偶次幂的项.

【答案】由

当f （x ）为奇函数时,

又

故此时有

当f （x ）为偶函数时,

又

3． 试证明

【答案】令

则

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可得

故此时有

.

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于是原不等式左边变为

4．

设

【答案】记

则

试证:

当x

≥0

时

,

, 显然

在x ≥0,

上

连续, 所以可在积分号下求导, 即

令

则

又

所以

故

, 因此, 当x ≥0时,

从f

（x ） +g （x ） =C （C 为常数）,

当x=0时,

二、解答题

5． 在下列数列中哪些数列是有界数列, 无界数列以及无穷大数列:

（1）（2）（3）（4）列.

（2）因为（

3）因为（4）因为

6． 求极限

【答案】记

.

则

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页

所以

所以

是有界数列, 但所以

不存在.

是无界数列, 但不是无穷大数

【答案】（1）因为

是无穷大数列, 也是无界数列.

所以I

是无界数列, 但不是无穷大数列.

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即

而

,

故

.

7． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于y=f（x ）过点（2, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为 8． 计算

a ＞0, b ＞0, c＞0.

使其完全包含在

内. 所以

作代换

进行计算后得到

解法二:作

使其完全包含在

内

.

【答案】解法一:这是一个第二类曲面积分, 不妨设其方向为外法线方向.

设

经演算得到

在原点附近补一个小椭球在

与V 之间的区域, 被积函数有连续偏导数, 满足高斯公式,

由

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