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一、证明题

1． 证明:若

为任何闭集, f :

且存在正实数

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

为, 的另外一个不动点, 则

即

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

2． 按定义证明下列极限:

（1）（4）

（2）（5）

由

得

. 取

则当

时, 有

故

（2）

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, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

, 故由定理可知数列收敛,

设

（2）不动点

（3）

【答案】（1）对任意给定的

限制则

只要取

对任意给定的

由

得

* 则当

时, 有

于是, 对任意给定的故（3）

它成立的一个充分条件是取则当时有

故（4）若限制

则

时, 有

对任给的故（5）

, 取

于是

则当

对任给的

取

则当

时. 就有

故

3． 设f 为

【答案】设中值定理,

存在

, 使得

4． 设（f x ）

满足

则f

在

上恒等于0.

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上的单调递减函数, 证明:对任何正整数n 恒有

, 贝岫题设知, g （x ）在

上为非负、递减函数. 由积分第二

, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若,

【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在在

上存在最大值和最小值. 设f （x ）在,

因

得

大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.

所以在

,

故

证M=m=0.假设

. 于

是

于是上

上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）

现再

由

为最

上的最大值为M , 最小值为m , 并且

由费马定理

知

为f （x ）的一个严格极小值. 这与

二、解答题

5． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式:

（1）（2）（3）【答案】（1）

所以f （x ）在x=l处的泰勒展开式为

（2）因所以

（3）因

所以

6． 计算积分

其中D :

•

是关于y 的奇函数, 故

作极坐标变换:

, 则

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在x=0处的幂级数展开式为

而这

【答案】因为积分区域D 关于x 轴对称, 而