2018年河南工业大学理学院837高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:以下三个多项式为
的一基:.
再求在此基下的坐标.
【答案】设代入并整理后得
于是
.
故.
因此, 线性无关, 从而为基.
又设
则得
.
由此得
这就是
在基
下的坐标.
2． 证明:任何二阶正交方阵A 均可表为
且若
则A 相似于
【答案】令为正交方阵. 则由
得
由于
故当
时由
即
得
由（1）知, 存在使（若
则存在
例如,
便有
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1）
2） （ （
若取例如,
, 则存在
便有
则此时A 总可表为
若
则
于是由
即
得
于是同上理, 令
A 可表为
并且此时
A 有两个互异的特征根1, 一1. 故存在正交方阵U 使
3． 设似, 记为
是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使. 证明:
与
故
且
在同一基下的矩阵相似. 又若
, 则
因此, 线性变换的相似关系是等价关系. ②设
在基
下的矩阵为
若
且
即
与
相似
.
由上倒推可得
反之, 若
又S 在该基下矩阵为C.
则由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射, 故
则
即
则称
与
相
①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中, 【答案】①因为
再若
4． 设A 、B 均为n 阶实正定矩阵，证明：
（1）如果（2）如果
正定，则且
正定，则.
正定； 正定.
【答案】 （1）因为A 、B 均为n 阶实正定矩阵，则存在可逆阵P , 使
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所以有
又己知由于
所以
显见，（2）由于
5． 设
所以
故
正定.
即
与正定
.
可变换.
正定，所以
又A-B 正定，且由A 、B 正定知A+B正定. 所以
是欧氏空间V 的两个对称变换, 证明:
也是V 的对称变换； 是对称变换当且仅当
【答案】
是对称变换, 故
是线性变换显然. 又因为
因此, ②设又因为由于反之, 若即
是对称变换. 是对称变换, 则对都是对称变换, 故又有
（2）
的任意性, 故由（1）, （2）得
则
真是V 的对称变换.
有
（1）
二、分析计算题
6． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】 （1）因为
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其中A 、D 都可逆，证明：