2018年河北师范大学数学与信息科学学院821高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解 有零解.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则
这时
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 3． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令
未知量个数
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方法2所以当方法3设
则
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
. 则
也不是线性变换，
比如给
,
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（
D ）.
则当
【答案】C 【解析】而
5．
设A 为
3阶矩阵，
将A 的第
2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C , 记
A. B. C. D.
则（ ）.
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【答案】B
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6．
实矩阵A 和B , 证明:A 和B 实相似的充要条件是复相似. 【答案】必要性显然.
下证充分性，设A 与B 复相似，即存在复可逆阵其中M 和H 都是n 阶实方阵，由因为使
7． 设A 为实反对称矩阵，则
【答案】由阵，则
故由因为
注意到
所以B 是正交矩阵.
于是
可逆，且只要证明
可逆，则
的特征值为
的特征值全不为0, 故
可逆.
是正交矩阵. 可逆. 由A 是实反对称矩
，令
，故
，此即
，使
不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数a ,
则P 是实可逆阵，且由有
是实反对称矩阵，其特征值是0和纯虚数，设为