2018年河南师范大学数学与信息科学学院801高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
从而可由线性表出. 线性相关，故选D.
2． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
线性无关.
因为
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
所以向量组矩阵，则. 则
线性无关.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】未知量个数有零解.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选故选B.
5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
, ，从而否定C ,
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
二、分析计算题
6． 求n 阶矩阵A 的特征值和相应的特征向量, 其中
【答案】因为
所以A 的特征值是所有的n 次单位根解方程组
得一般解
是自由未知量, 取基础解
则
的特征向量为
对于特征值
对
于具体的方阵我们总是通过上述方法求特征值和相应的特征向量. 若方阵不是具体的数字矩阵, 仅仅知道矩阵的若干性质, 求其特征值与特征向量, 灵活性比较大.
7． P 是数域，A , B
，
（1）（2）
（2）由上一问题得
两边消去E 得
【答案】 （1）
E 是单位阵，且
证明：
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