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一、计算题

1． 两材料和截面b ×h 均相同的悬臂梁AC 和CD ，在C 处以活动铰链相接，并在梁AC 的跨中B 处承受铅垂荷载F ，如图1所示。设材料可视为弹性-理想塑性，屈服极限为σs 。试用虚位移原理，求结构的极限荷载。

（提示:结构可能出现两种极限状态:截面A 和B 形成塑性铰，或截面D 形成塑性铰。结构的极限荷载应取两者中的较小值。）

图1

【答案】（l ）求解超静定梁

将梁沿铰链C 断开，代之以约束反力X ，如图2所示。

图2

根据梁的变形，易知AC 梁与CD 梁在铰接点C 处的位移相等，即有变形协调方程由叠加法知AC 梁中C 截面的挠度：CD 梁上C 截面的挠度:代入变形协调方程即可解得:故梁的支反力:

（2）由上分析知，梁截面A 先形成塑性铰，除固定端A 外，另一截面也形成塑性铰时，结构达到极限状态。

分析知截面D 弯矩大于B 截面弯矩，因此D 截面较B 先形成塑性铰，即结构达到极限状态时，有:

，则该矩形截面梁的极限载荷由:

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其中，

得结构所能承受的极限荷

载:

2． 杆以角速度

绕铅垂轴在水平面内转动。已知杆长为l ，杆的横截面面积为A ，重量为P 1。

另有一重量为P 的重物连接在杆的端点，如图1所示。试求杆的伸长。

图1 图2

【答案】根据动静法，重物P 的惯性力:杆的受力分析如图2所示。

杆上距转动中心x 处的轴向惯性力分布集度

，由此可得长为l-x 杆的惯性力:

根据动静法得x 截面上的轴力:

由胡克定律得到杆的伸长:

3． 如图1所示支架承受荷载F=10kN，1、2、3各杆由同一材料制成，

其横截面面积分别为

和

试求各杆的轴力。

图1

【答案】（l ）如图2所示，在F 力作用下，杆AB 受拉，AD 受压。分析节点A 处的受力，设AC 杆受拉，由静力平衡条件可得:

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图2

（2）补充方程

作铰A 的位移图，由几何关系可得变形协调方程:

其中，由胡克定律可得物理关系:

代入式③可得补充方程:

（3）求解

联立式①②④，可得各杆轴力:

4． 如图所示，长度l=2m的均匀圆木，欲锯下a=0.6m的一段。为使锯口处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零。现将圆木放置在两只锯木架上，一只锯木架放置在圆木的一端，试求另一只锯木架应放置的位置。

图1

【答案】根据梁的平衡条件可求得铰支座D 处的支反力:

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