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一、证明题

1． 证明：若级数

【答案】假设发散.

也发散

2． 证明：设方程

m ，收敛. 因_

.

所确定的隐函数

具有二阶导数，则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

3． 设

证明：【答案】因处

设

即A+C, = 0, 而

所以

4． 证明：若函数

【答案】令

故f (x , y) 不可能在D 内部取得极值，f (x , y) 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

在区间

内二阶可导，且对

有

将

与

在

点作泰勒展开，有

有

则对

即可.

对D 内任何点(x，y ) , 由于. 故又

.

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数，有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得.

在有界闭区域D 上连续，故由连续函数的最值性知f (x ，y ) 在D 上一定可取

时，有

M

；

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，

所以若

. 故级数

得最大值和最小值，下证f (x ，y ) 在D 的内部不能取得极值，这里只需证明在D 内任何点(x, y )

于

是，对任给的

有

5． 证明：

【答案】(1

)

6． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

在使得因

上不变号，

所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

若

则

得

令

则

且

均有

分别为

在

上的上、

二、解答题

7． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。

【答案】如图所示，静压力的微元

则

图

8． 计算

其中S 为圆锥表面的一部分

这里为常数【答案】由于

则

9． 计算曲线积分

和点【答案】

其中

和

为连续函数; AMB

为连接点

10．过直线P :

【答案】设

作曲面切点坐标为

曲面在点即

的任何路线，但与直线段AB 围成己知大小为S 的面积。

的切平面，求此切平面的方程.

则

的法向量为

又过直线T 的平面方程为