2017年闽南师范大学数学与统计学院615分析与代数之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
(1)
(2) 计算重积分' 【答案】(1) 令S 为由对称性显然可得
而
所以
(2) 利用(1) 的结果得
2． 证明下列函数在x=0处不可导：
【答案】(1) 因为(2) 先求
当
时
于是
再求
当
时
于是
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证明：
所以在x=0处不可导.
因为
3． 证明：当
时
所以在x=0处不可导.
【答案】因为
所以
4． 设函数f ，g 在
的某个领域上可导，
且
如果
证明
其中A 是实数.
【答案】取
由
中值定理，令
有
从而所以令
则
使得当
时，有
将使
固定，令
有
于是，
所以
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则由
知道
5． 若存在数c ，使得
证明：凡有有界变差的数列是收敛的，反之不一定成立.
【答案】所以数列
收敛. 由柯西收敛准则，对
，当丨收敛.
时有
存在正整数N , 当
则称数列显然时有
有有界变差.
单调递增且有上界，
即
于是对数列所以数列
反之不一定成立. 例如数列1, 但它不是有有界变差的. 事实上，
而数
列
6． 设
(2)
【答案】(1) 一方面，
则
另一方
面
或
(2
)
即
(3) —方面，由(2) 有另一方面
，
因为是一一映射，所以
综合两方面，有
则
使 且
即
则
故
即
使这表明
使
又
使
因
为
. 所
以
且
则
且
使
则
从而
使
因
为这表明
所
以
或
即
综合两方面，
有
所以
是发散的，又是递增的，所
以不是有界的.
是X 的任意子集，证明：(1) (3) 若f 是一一映射，则
则
或总
若使
则即
使
若
这表明
于
是
它是以0为极限的收敛数列，
二、解答题
7． 设试研究在x=0点的连续性.
【答案】
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