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一、证明题

1． 证明

：

【答案】考虑二重积分因为. 所以故

2． 设

在点

的某邻域内存在且在点

可微，则有

【答案】应用中值定理有

由在

处可微知

所以

. 同理由在

处可微得

从而

3． 设在

上连续，

证明

【答案】因为

所以

从而

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分别取D 为

且

，

4． 证明：若数列

(1) 级数. (2) 当时，级数

有>发散；

，则

【答案】(1) 级数的前n 项和

则

(2) 级数的前n 项和

5． 证明下列命题：

(1) 若

在

上连续増，

则(2) 若

为在

上的增函数。

上连续，且

则

为

【答案】(1) 由

在

上连续及洛必达法则，得

因此F (x )

在

点右连续，

从而

在

上连续，又当

时，

根据积分中值定理，存在

使

所以

由故

在为

上单调增，得上的増函数。

因此

在

内可微，且

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故级数发散.

上的严格增函数，

如果要使

在上为严格増，

试问应补充定义

从而当

时，

(2) 由题设，可得

由而

知，函数故

为

在

上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因

所以补充在上严格增。

6． 证明下列各式

【答案】(1) 令

则

因此

(2)

设

代入原方程有：

(3)

令(4)

令

则则

因此

. 因此

使函数

成为

上的连续函数，再由

可得

从

二、解答题

7． 求下列函数的麦克劳林级数展开式：

【答案】⑴设又

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得