2017年浙江理工大学理学院912高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一半径为R 、中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数μ。在圆心处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图建立坐标系，则相应小区间[θ，θ+dθ]的弧长为直方向引力分量为0，水平方向的引力分量为
故所求引力大小为
，方向为M 指向圆弧的中心。
，根据对称性可知所求的铅
图
2． 设f （x , y ）在闭区域
上连续，且
求f （x , y ）。 【答案】设
，则
从而
又
的面积
故得
因此
在极坐标系中，有
因此
于是得
从而
3． 求曲线
【答案】
，即2x-y=0，法线方程为（x-0）
4． 求通过点A （3，0，0）和B （0，0，1）且与xOy 面成了
【答案】设所求平面方程为
角的平面的方程.
上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
0），因此曲线在点（0，处的切线方程为y-0=2，即x+2y=0。
，B （0，0，l ），故a=3，c=1.这样平面方程为
平面过点A （3，0，0）
它与xOy 面成
角，故
即
故所求平面为
5． 设己知两点
【答案】向量
（4，，1）和 （3，0，2），计算向量. 其方向余弦分别为
的模、方向余弦和方向角.
，1），其模
=
=（3，﹣4，0，﹣，2，﹣1）=（﹣1，﹣
方向角分别为
6． 求曲线
在与x 轴交点处的曲率圆方程。
【答案】解方程组
, 故
得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。
则
设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
7． 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ，求这截锥体的体积。
【答案】用与下底相距z 且平行于底面的平面去截该立体得到一个椭圆，记其半轴长分别为u 、v ，则
，
8． 设向量r 的模是4，它与u 轴的夹角是
【答案】已知∣r ∣=4，则
9．
设
。
【答案】
具有连续偏导数，
而
，求r 在u 轴上的投影.
，
求
，该椭圆面积为
，因此体积为
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