2017年浙江理工大学理学院912高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 某吊车的车身高为l.5m , 吊臂长15m 。现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去（如图所示）, 问能否吊得上去?
【答案】如图, 设吊臂对地面的倾角为
知
令又
, 得, 故
, 即惟一驻点
为极大值也是最大值, 即当
时, h 达到最大值。
, 屋架能够吊到最大高度为h , 由
, 而柱子的高只有6m , 所以能吊得上去。
图
2． 求由平面y=0，y=kx（k>0），z=0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.
【答案】如图所示，记
，则
图
3． 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
【答案】设直角三角形的两直角边之长分别为求周长S 在作拉格朗日函数
令
条件下的条件极值。
则周长
解得。代入，得，于是是唯一可能的一切直
的极值点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边之长角三角形中，周长最大的是等腰直角三角形。
4． 己知水渠的横断面为等腰梯形，斜角
【答案】由题意知
又
所
以
。
。当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时，求湿
周L （L=AB+BC+CD）与水深h 之间的函数关系式，并指明其定义域。
，因此湿周函数的定义域
为
得
，而h>o
且
5． 己知某曲线经过点（l ，l ），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.
【答案】设（x ，y ）为曲线上的点，则曲线在该点处的切线方程为轴上的截距为
将上述方程与成
并依题意，有
可解得
6． 求下列函数的二阶导数：
【
答
案
】
（
1
（2）
7． 已知函数
【
8． 求抛物线
【答案】由
答
，试求
案
的渐曲线方程。 , 及
, 知
.
】
）
切线在纵
故抛物线少=2Px的渐屈线方程为
其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为
9． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
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