2017年浙江省培养单位宁波材料技术与工程研究所602高等数学(乙)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1．
已知物体的运动规律为
。
【答案】因为
故
2． 求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:
（1）y=x，x=y，绕y 轴； （2）y=arcsinx, x=1, y=0, 绕x 轴；
22
（3）x +（y-5）=16，绕x 轴；
2
2
，求物体运动的加速度，
并验证（A , W 是常数）
，y=a（1-cost ）的一拱，y=0，绕直线y=2a。 （4）摆线x=a（t-sint ）【答案】（1）（2）
（3）该立体为由曲线减去由曲线
，
，
，，
，
，
所围成图形绕x 轴旋转所得立体
（4）该立体可看作由曲线y=2a，y=0, x=0, x=2πa 所围成的图形绕y=2a旋转所得的圆柱体减，则体积为
去由摆线y=2a，x=0, x=2a所围成的立体，计摆线上的点为（x ，y ）
，再根据摆线的参数方程进
，此时y=a（1-cost ），因此有
行换元，即作换元x=a（t-sint ）
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所围成图形绕x 轴旋转所得立体，因此体积为
3． 设函数
连续，且满足
在该方程两端对x 求导，得
即
可见若记
又在方程
则有初值问题
上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解
且有代入初始条件
有
解得
x
【答案】由所给方程可得
的两端对x 求导，得
而不是
于是方程（1）
是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得
即于是得
4． 设数列
满足条件：
=3，
=1，
.S （x ）是幂级数
（1）证明：
（2）求S （x ）的表达式.
【答案】（1）由已知条件，可计算得
所以，
的收敛半径为+∞.
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因为S （x ）
=
，所以
因为
，所以
所以和－1，通解为
因为
解得
=2，
=1，所以
.
，所以
的特征方程为
，计算得特征根为1
（2）由题意知，齐次微分方程
5． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以 6． 计算
去的方向为逆时针方向。
【答案】记球面
的外侧被所围的部分为
由斯托克斯公式得
，于是
的单位法向量为
，其中为曲线
，从Ox 轴正向看
为球心，以
为半径的球面.
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