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一、计算题

1． 设平面区域D 由曲线

及直线

所围成，二维随机变量（x , y ）在区域D

上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数.

【答案】因为区域D 的面积为（如图）

又因为（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，所以（X ，Y ）的联合密度函数为

图

由此得，当

时，

所以X 的边际密度函数为

若此题要求出Y 的边际密度，则从图中可以看出: 当

时，有

当

时，有

所以Y 的边际密度为

2． 设

在以点为顶点的四边形上服从均匀分布, 令

.

（1）求U 与V 的边缘密度； （2）求X 与Y 的联合分布律； （3）求X 与Y 的协方差.

【答案】 （1） U 和V 的联合密度为区域,

如图1所示

.

, 其中D 为四边形所围成的

图

1

（2）同理可得, 故联合分布律为

表1

.

（3）易得X 与Y 的边缘分布律

表

2

于是

.

3． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计:

（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.

【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为识别出错字的概率为概率为

根据频率替换思想有

由独立性可得矩法方程

解之得

甲校对员识别出错字的概率为

，乙校对员

由于甲、乙是彼此独立地进行校对，则同一错字能被甲、乙同时识别的

（2）未被发现的错字数的估计等于总错字数的估计减去甲、乙发现的错字数，即

譬如，若设

则该书样稿中错字总数的矩法估计为

个.

而未被发现的错字个数的矩法估计为

4． 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位:h ）都服从同一指数分布，密度函数为

试求:此仪器在最初使用的200h 内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 【答案】设Y 为仪器在最初使用的200h 内，损坏的元件个数，则

所以至少有一个电子元件损坏的概率为

，其中