当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明下列结论：

⑴当(2) 若

时

，

在点a 的邻域

内连续，

有

且

【答案】(1)

令

使得

令

则

于是有

从这个式子中可解得

由亍

>

所以

且易知

(2) 由泰勒定理知

其中

比较

的两个展式有

于是

令

1取极限，利用

阶导数的定义及

函数由

的凸性知

第 2 页，共 28 页

使得

其中并求和

，则

在

上

对

利用拉格朗日定理，

当

时

，

在内连续有

为

上的凸函

2． 证明：数.

【答案】

为区间

上凸函数

所有

即

.

故

3． 设

为上的凸函数. 在

上三阶可导，证明：存在实数使得

【答案】若存在一点立. 因此，不妨设

不失一般性，假设则

而且当

进而，

不失一般性还可假设

则

有

于是，在

的假设下证明本题的结论.

由泰勒公式，

有

其中在X 与a 之问. 由此可知，存在再由泰勒公式，有

其中在x

与

则

4． 验证

【答案】因为

所以

第 3 页，共 28 页

为上的凸函数

.

因为函数.

为

上的凸函数，所以

使得.

这是因为，若. 使

中有一个为零，则结论显然成

考虑

时，

. 这是因为，若

.

则必有考虑

时，必

而且当，

使得

当

之间. 由此可知，存在

是

在

当时若取

上的一个原函数。

而当时，有

即 5． 证明

:

【答案】令

因而

则

原式

即是在R 上的一个原函数。

则有

故

对上式右端第二个积分，作变换

原式

这里用到了在

二、解答题

6． 求下列不定积分：

其中

【答案】

第 4 页，共 28 页

求递推形式解。