2017年浙江工商大学统计学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若单调数列
【答案】设即对一切正整数
于是
2． 证明级数
【答案】因为所以
当
时，数
列收敛. 因为
而
3． 设
发散，所以在
上连续且满足
发散. 故原级数为条件收敛.
，证明：
【答案】显然，
有
对上式从0到1积分，得
在上式两边同乘以正数
得
最后一步的不等式是根据函数
有最大值而得到的.
条件收敛.
所以该级数为交错级数. 令
单调递减，
且
则
由莱布尼茨判别法知级
数
含有一个收敛子列，则
收敛，则
对任意的正整数n ，由于
这说明数列
收敛.
是有界的. 设正数M 是是
. 谢一个上界，
的子列，所以存在正整数s ，
使得
收敛.
单调递増，它的子列
是有上界的. 由单调有界定理知，数列
二、解答题
4． 在曲线上取一点P , 过P 的切线与该曲线交于Q ，证明：曲线在Q 处的切线斜率正好是
上点P 坐标为
即曲线
由由方程组
在Q
点的切线斜率
得该曲线过点P 的切线斜率
解出切线与曲线的
因此
在P 处切线斜率的四倍.
【答案】设曲线切线方程为
交点为
5． 在
即曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍. 上给定
及函数
证明：无界函数【答案】作的剖分
在上可积.
令
则
为了估计上界，把分成三类：以(0, 1) 为心，以5为半径的圆记作U , 整个落在U 内的作第一类； 不完全落在U 内的整个落在
，要么整个落在正方形
上，归作第三类. 容易看出
令
得
故
6． 求下列函数所表示曲线的渐近线：
【答案】（1）由
归
内，归作第二类；要么
得k=0, 再由
得b=0.所以此曲线有水平渐近线y=0.又因为
所以此曲线有垂直渐近线（2）由
得k=0, 再由
得得（3）因为
所以k=3, 再由
得b=6.因此，该曲线的斜渐近线方程为所以
所以，该曲线还有两条垂直渐近线x=0和x=2
7．
设函数
时的
【答案】因
8． 求下列由参量方程所确定的导数
处；
处.
【答案】故
另外，由
于是，此曲线有两条渐近线
又因为
是由方程组(u, v 为参量) 所定义的函数，求当所以当