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一、证明题

1． 设

其中f 为可微函数，验证

【答案】设

则

所以

2． 设

和

为正项级数，且存在正数

对一切

证明：若级数【答案】由题意

收敛，则级数

时，

也收敛；若

从而

又因为改变有限项不改变的敛散性，所以由比较原则，若级数若发散，则也发散.

3． 证明：定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。

【答案】设圆的半径为R ，则该圆的内接正n 边形面积

令

则

于是当

时，

故

在

上严格递增. 因此，数列

严格递增. 即圆内接正

n 边形面积将随n 的増加而增加。

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有

发散，则也发散

收敛，则级数也收敛；

4． 设f 为定义在界.

上的增(减) 函数. 证明

上的增函数

存在的充要条件是f 在上有上(下)

【答案】(1) 设f 为定义在

因为f 在

任意的

得，对任意的

即

若

故

而在。有

(2) 当f 为减函数时，同理可证

即

上有上界，由确界原理可知且对任给的

有

存在

上有上确界. 设使得

则对

由f 是增函数可

当

令

上有上界.

在

时

.

即，

则对

为增函数. 即

存在，设为A ，

对

二、解答题

5． 讨论下列函数在点(0, 0) 的重极限与累次极限：

【答案】(1) 当动点(x ，y ) 沿着直线

趋于定点(0，0) 时，

这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值均不同，因此，函数(k ，y )

当

时的重极限不存在，但累次极限：

(2) 函数的两个累次极限都不存在. 又

故

可见函数

的重极限存在且为零.

所以，

函数

的两个累次极限存在且相等，

由于

故

不存在.

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(3) 函数的累次极限为：

从而

(4) 累次极限为：

因此，函数

的两个累次极限存在且相等. 现让动点沿着曲线

故函数

的重极限不存在.

又

零.

(6) 累次极限为：

故函数当(x ，y )

沿

的两个累次极限存在且相等.

趋于(0, 0) 时，

当(x ，y )

沿

趋于(0, 0) 时

可见重极限

不存在.

故

可见函数

的重极限存在且为向(0, 0) 点移动

.

(5) 累次极限为：

(7) 累次极限为：

即函数的两个累次极限均不存在，当动点沿x 轴正向趋于(0, 0) 时数

的重极限也不存在.

则有

当

Wt ，

故有

因此方法二：当

时，是无穷小量.

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不存在, 故函

6． 求极限

【答案】方法一：令