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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明：级数收敛，则

令

则

级数

的部分和为

从而级数

2． 设f (x ) 在

则

上连续，对任意收敛.

，所

以

当

时

有

有

另外

试证：若

收敛。

也收敛，其中

【答案】用比较判别法. 因

为

即

从而当

时有

若

可取

收敛.

3． 证明下列结论：

(1) 若(2) 设在

而数列

在与

上严格递增，且对在

则

上有定义，

单调，对任意正整数

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

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则

从而积分收敛，根据比较判别法可知，

积分

有

则. 使得

不以

则 已知

从而

有为极限，从

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

的子列

知

时有

(2) 不妨设单调递增. 对

再证：当

由

时有(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

矛盾. 从而当

时有

使得

即

即

单调递増，则有

二、解答题

4． 设

其中

有限区间

由于

再由

在在

的收敛半径为任一有限闭区间.

上连续，

上一致连续，

于是有

在

上一致收敛于

5． 在下列积分中引入新变量u ，v 后，试将它化为累次积分：

【答案】(1) 由

D 与

如图1, 图

2

在任意区间内是一致收敛的，对任意

一致收敛于

，令，

试证明.

在

]

上一致收敛于

【答案】由题意知，

上一致有界，所以

图

1

图 2

于是

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(2) 由

得

(3) 由

得

6． 求下列函数在

【答案】（1）所以

为函数

的最小点，最小值为上的最小值：

因为

或考查

故小值

为

7． 设

【答案】

试按

的正数幂展开

为函数

的最小点.

及

有相同的最小点. 利用第（1）小题知

的最

（2）注意到

于是

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