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一、证明题

1． 设与g

是定义在

收敛，则

【答案】因为

上的函数，对任何与

并且

它们在也都收敛。

和

都收敛，所以上都可积. 证明：若

与

收敛. 又因为根据比较判别法，也收敛。 2． 设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域，函数在V 上与S 上具有二阶连续偏导数，函数

偏导连续，证明：

【答案】(1) 由高斯公式：

令

有

即

(2) 由(1) 式用

代替可得

类似地可以得出：

三式相加，再由第一、二型曲面积分关系可得

3． 设

在

上有

阶导数且

及

求证：

.

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由微分中值定理

【答案】将在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

4． 设f (x ) 处处连续

，

(1) F (x ) 对任何x 有连续导数；

(2) 在任意闭区间[a, b]上，当足够小时，可使F (x ) 与f (x ) —致逼近(

即任给

均有【答案】

(1)

对一切

其中为任何正数，证明：

则

因为f (x ) 处处连续，所以

(2)

所以由洛必达法则可得

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连续，即F (x ) 对任何x 有连续导数.

故对任给

当足够小时，对一切

均有

即所证结论成立.

二、解答题

5． 研究函数

【答案】当

时，

当

时，

当x=l时，

当

时，

无定义

.

f （x

）在

在

6． 设

所有二阶偏导数都连续

，

求

处不连续.

上都连续.

在x=-1处f （X ）无定义，从而也不连续

.

的连续性.

【答案】由题意知

7． 设函数

【答案】若

使在区间

上二次可微，且有界. 证明：

. 使得

则

必变号. 若不然，

不妨设

使得

严格递增.

取

变号，由导数的介值性，

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下证：在题目的条件下

，