2017年中北大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设S 为非空有下界数集. 证明：
【答案】必要性，设的任一元素X ，
充分性，设取 2． 若
级数
发散
，
收敛.
证明：
则
. 又因为
则
因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素
即是S 的一个下界.
对于任意
所以是S 的下确界，即
发散；(2)
【答案】(1) 用柯西准则 .
取在
适当大，可使
(固定) ，取
于是有
由于趋向于所以对固定的存
由柯西准则知，级数(2) 因为
所以
而级数
收敛于
故
收敛。
发散。
3． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。
【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点
使得
假设方程
在
内无实根，
则对每一点
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上连续，且
有
与异号，则至少存在一
由连续函数的局部保号
性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖右端点盖
.
存在x 的一个邻域形成
使得在内保持与相同的它的
的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间
以此类推，经过有限次地向右移
这n
个开区间显然就是
与与
及
的符号. 以此类推，
使得阶导数且
的一个开覆
具有相同的符号.
因为
具有相同的符号. 这与
把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为又属于S 的另一个开区间，设为
使得
在
内也具有
在每一个所以
内保持同一个符号.
在
内
动，
得到开区间
与异号矛盾. 故至少存在一点
4． 设
在上有
由微分中值定理
求证：【答案】将
.
在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开
对
在a 点作同样的展开，有
将上式代入式(1) 可得
比较式(2) 、式(3) ，且有故
则
二、解答题
5． 利用已知函数的幂级数展开式，求下列函数在x=0处的幂级数展开式，并确定它收敛于该函数的区间
.
【答案】(1) 由
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可知
(2) 由
可知
(3) 由
可得当
时，
(4)
可得
(5) 因为
所以
时，
(6)
因为
所以
时
(7) 因为所以
(8) 由
得
(9) 而
所以
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