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一、证明题

1． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，不等式的下界.

2． 设为一事件域，

若

试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交

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求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

记

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列

由此得（3）因为（4）因为（5）因为

所以

所以

所以

为一事件域，所以

其中

由

由

由（3）（有限交）得

得得

故其对立事件

3． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

4． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

所以

5． 设分布函数列

【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在

使当

使有时, 任对

, 有

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弱收敛于分布函数且

和都是连续、严格单调函数,

又设

关于x 是一致的,

服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:

对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有

存在充分大的M , 使有

对取定的h , 因为

因此有

由

的任意性知

结论得证.

是取自该总体的简单随机样本,

其中

, 而

又

由此,

7． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

所以由单调性知

从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

8． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

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6． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:

【答案】注意到

为样本均值, 为

证明:X 与不相关. 为证明X

所以这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

不独立.