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一、证明题

1． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?

【答案】设共投掷n 次，记事件则

由

得

两边取对数解得

所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点

为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.

数为6的概率大于1/2.

2． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

3． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为

（3）因为

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证明：

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个

，

则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸次

互不相容，且

得

把分母移至另一侧即得结论.

注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开

可得

比较上式两端的系数即可得

I

（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得

再利用（1）的结果即可得证.

4． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

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5． 设证:

为一个样本,

是样本方差, 试

【答案】注意到

故

证明完成.

6． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.

7． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（（2）以必有

于是, 对任一组并

满足

中有个

有

表示

【答案】（1）给定（

）是充分统计量；

中等于的个数, 证明（

）的取值

设

）是充分统计量.

中有个

可以为0, 但

该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（

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）是充分统计量.