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一、证明题

1． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

的泊松分布.

2． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

3． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

4． 设X 为非负随机变量，a>0.若

【答案】因为当a>0时，

5． 证明：对正态分布

存在，证明：对任意的x>0，有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y 独立,

则

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在.

时趋于这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，

从而的最大

6． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

7． 设时,

时, 有

当, 结论得证.

为一独立同分布的随机变量序列, 已知

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】

因为

为独立同分布的随机变量序列,

所以

时, 有

令

试证明:当n 充分大

也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

8． 设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

所以

9． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

,

样本方差分别为

证明:

由得

10．设

是来自的样本，α＞0已知，试证明，是

于是

的有效估计，

从而也是UMVUE.

【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为

所以λ的费希尔信息量为这就是说的任一无偏估计的C-R 下界为

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

二、计算题

11．有两台机器生产同种金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，测得部件质量的样本方差分别为平

下检验假设

若

，此处，检验

，设两样本相互独立，试在显著性水

【答案】这是一个关于两正态总体方差的单侧检验问题，

由所给条件算得取显著性水平

可求得临界值为

，拒绝域为此值，如，在Matkb 中输入finv （0.95.13.11）即可给此值）

（可用线性插值法或用统计软件求出

统计量未落入拒绝域中，因此接受原假设.

12．甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：

（1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数.

【答案】（1）设该书样稿中总错字的个数为甲校对员识别出错字的概率为

乙校对员识别