2017年南京财经大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研题库
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一、证明题
1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
2． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率.
因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N-m+1次必取到白球，若记
为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
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,
其中
3． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
4． 若
【答案】由
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
5． 设X 为非负连续随机变量，证明：对
，则有
【答案】设X 的密度函数为p （X ）
6． 设（
）为n 维随机变量, 其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
,
则以概率1
所以
在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数
【答案】由于使得
另一方面,
意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量
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方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得
7． 设A ，B 为任意两个事件，且
【答案】
8． （格涅坚科大数定律）设
是随机变量序列, 若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对
注意到t>0时.
是增函数, 故当
因此有
所以当再证必要性.
设有
因为函数
时, 有
服从大数定律,
即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N ,
当, 得
由于的任意性, 所以
9． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变.
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则成立.
时, 有
时,
是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差