2017年山西师范大学教育科学研究院809数学综合[专业硕士]之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数项级数
(1) 证明此级数在(2) 求其和函数.
【答案】(1) 对每一个固定的x>0, 有
利用正项级数的比较判别法知，但由于致收敛.
(2)
设
由于级数的通项出. 因此，如果级数(1) 知，
在
在
是以
为公比的几何级数，其和可以求
上收敛. 所以级数
上不一
上收敛但不一致收敛；
上满足逐项求导定理的条件，那么S (x ) 便可求出. 但由
在
上考虑上述问题
.
显然
在
上有连
上不满足逐项求
上不一致收敛，也就是说
导定理的条件. 为了克服这一困难，
我们在缩小的区间
使
续的导数. 由
记
知，于是可得
特别地，
由
的任意性，
都有
在
上一致收敛. 因此，
在
上可逐项求导，
2． 给定两正数
与
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
，所以
为单调递减，
因此，
为单调递增. 并且
对
即
都是有界的. 根据
两边取极限，得
单调有界定理知
的极限都存在.
设
因而
又因为
与等比中项
证明:
与
【答案】由
，一般的令
|于是a=b, 即与皆存在且根等.
3． 试用聚点定理证明柯西收敛准则。
【答案】设
收敛，令于是
设数列
满足柯西收敛准则的条件.
如果集合
只含有有限多个不同的实数，则从某一
的极限.
如果集合
至少
中
都含有集合
于是，对任给的
存在正整数N , 使得当
时，
有
项起这个数列的项为常数，否则柯西条件不会成立. 此时，这个常数就是数列有一个聚点
假如
无限多个点. 这与取
整数N ，当对于任意使得
有两个不等的聚点
存在正时，有存在N , 使得当因而，当
时，
故数列
4． 设
(1) 求(2) 计算g (a ) . 【答案】(1) x=l和
为奇点. 记
含有无限多个不同的实数，则由柯西条件容易得知它是有界的. 于是由聚点定理，集合
不妨设
矛盾. 故时，
的聚点是惟一的，记之为 又因为是
的聚点，所以存在
令
则与
收敛于
则
显然f (x ，a ) 与对积分当当
时，时，
在
由
敛性，利用M 判别法可知，
由可微性定理，有
(2) 因为
注意到g (0) =0, 于是当
时，有
故
所以
是关于的奇函数，因此只需考虑
的情形即可. 此时
，
上收敛.
及的收
上关于-致收敛. 于是
均在
上连续.
由此可知，对积分
二、解答题
5． 应用中值定理估计积分
【答案】由于在
使得
的值.
上连续，据中值定理知：存
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