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一、证明题

1． 设

在

上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

2． 设a ，b ，

【答案】由于当

时，原不等式化为

上式等价于

两边平方，得

即

由于

所以上式等价于

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由微分中值定理

则

(表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

的情形进行证明.

你能说明此不

等式的几何意义吗？

即当时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

3． 设

具有性质

【答案】(1) 由

得

即(2)

令令 4． 若

级数

发散，

收敛.

证明：

则有

对

两边关于求偏导数得

证明：

发散；(2)

【答案】(1) 用柯西准则 . 取在

适当大，可使

(固定) ，取

于是有

由于趋向于所以对固定的存

由柯西准则知，级数(2) 因为

所以

而级数

收敛于

故

收敛。

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发散。

5． 设

【答案】设. 时，

有

取

由此推出，当n>N时 6． 证明：若与都在下确界，则必存在某实数

【答案】设

上可积，且

且aN时，有因为b>a，所以又由于

由于对于

. 故当n>N时，有

在使得因

对于存在正整数

分别为 所以有

由定积分的不等式性质，得

若

则由上式知

从而对任何实数

若

则

得

7． 求证：序列

【答案】对

只要

发散.

及

便有

令

则

且

均有

在

上的上、

存在正整数

使得当

使得当时，

有

当n>N时，同时有

上不变号，

二、解答题

8． 求由椭圆

【答案】设

所界的面积，其中则

所以椭圆面积

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